У сучасній російській літературній мові нормативна лише конструкція згідно чому, тобто з давальним відмінком.

Як правильно писати згідно зі списком чи списком?

Правильно: згідно зі списком.

Як правильно писати згідно з реєстром чи згідно з реєстром?

Відповідно вимагає давального відмінка. Як правильно писати: відповідно до чого (наприклад: реєстру) або відповідно до чого (реєстру)? Правильно: _згідно – чому? – Реєстру_.